El método es muy fácil, los pasos son:

1. Llamar a: 
   http://www.youtube.com/get_video_info.php?video_id=VIDEOID
   Donde VIDEOID es el id del video que vamos a obtener el archivo FLV (las ligas de YouTube para ver el video son como: http://www.youtube.com/v/VIDEOID)
   Tomaremos por ejemplo este:
   http://www.youtube.com/get_video_info.php?video_id=HDi9OeJqwG4 
2. El resultado será en texto y tendrá muchas variables como:

   status=ok&title=Rob+Dougan+-+Furious+Angels&muted=0&avg_rating=4.8496592845&creator=eitch&length_seconds=237&vq=None&fmt_map=&token=OEgsToPDskKxBcum6P4BEStM-z3qkYZW&thumbnail_url=http%3A%2F%2Fi1.ytimg.com%2Fvi%2FHDi9OeJqwG4%2Fdefault.jpg&allow_ratings=True&plid=AARgErHUJPLX2RPWAAAAoABoIAE&track_embed=1

3. De aqui solamente necesitamos obtener el parámetro token y pasarlo al ya conocido get_video.php:
   http://www.youtube.com/get_video.php?video_id=HDi9OeJqwG4&t=OEgsToPDskKxBcum6P4BEStM-z3qkYZW

Con esto ya obtendremos el FLV deseado, en PHP la rutina sería la siguiente:

<?php
//video id por defecto
$video_id = 'HDi9OeJqwG4';

if (isset($_REQUEST['video_id']))
        $video_id = trim($_REQUEST['video_id']);

//obtener informacion
$url_info = 'http://www.youtube.com/get_video_info.php?video_id='.$video_id;
$info = file_get_contents($url_info);

$vars = array();
parse_str($info, $vars);

$url_flv = 'http://www.youtube.com/get_video.php?video_id='.$video_id.'&t='.$var
s['token'];

print 'Archivo FLV: '.$url_flv;
?>

Con esto obtenemos la URL del archivo FLV.

Es importante notar que en Flex/Flash no se podrá cargar diréctamente get_video_info.php por la política del crossdomain de YouTube así que hay que utilizar un proxy.

El demo lo pueden probar desde:
http://demo.livesourcing.com/blog_vida/articulos/DanguerArticle_Youtube/?video_id=VIDEOID
Donde VIDEOID es el id del video de YouTube de su preferencia =)

El código fuente lo pueden descargar de:
http://demo.livesourcing.com/blog_vida/articulos/DanguerArticle_Youtube.tar.gz